2012/05/16追記・修正

@jim0912さんよりご指摘を頂きましたのでhome.phpのソースを修正しております。ありがとうございます。

https://twitter.com/#!/jim0912/status/202175365601439744

var_dump(date( 'Y/m/d H:i:s' )); //string '2012/05/15 15:06:01' (length=19)
var_dump(date_i18n( 'Y/m/d H:i:s' )); //string '2012/05/16 00:06:01' (length=19)

上記をvar_dumpしたところ確かにdate()だとズレてますね。（2012/05/16 0時頃確認）
というわけでdate_i18n()を使いましょう。
関数リファレンス/date i18n – WordPress Codex 日本語版

Custom Field Templateプラグイン設定

カスタムフィールドの設定はCustom Field Templateプラグインに任せることに。
インストール後、”設定 > カスタムフィールドテンプレート > テンプレートコンテンツ”に以下を記述。

[start_date]
type = textfield
label = 開始日
date = true
dateFirstDayOfWeek = 0
dateFormat = yyyy/mm/dd
startDate = (new Date()).asString()

[end_date]
type = textfield
label = 終了日
date = true
dateFirstDayOfWeek = 0
dateFormat = yyyy/mm/dd
startDate = (new Date()).asString()

投稿ページのカスタムフィールドテンプレートに開催日・終了日のDatepickerが追加されたのでイベント日時はここで設定。

home.phpの設定

出力部分に関しては以下の通り。meta_queryでカスタムフィールドの値を元に検索しています。meta_queryの使い方に関しては query_posts（WP_Queryクラス）でカスタムフィールドを使う：WordPress私的マニュアル を参照。

<section>
	<h1>開催中のイベント</h1>
	<?php
	$current_date = date_i18n( 'Y/m/d' );
	$args = array(
		'meta_query' => array(
			array(
				'key' => 'end_date',
				'value' => $current_date,
				'compare' => '>=',
				'type' => 'DATE'
			)
		)
	);
	$output = '';
	query_posts( $args );
	if ( have_posts() ) :
		$output .= '<dl>';
		while ( have_posts() ) : the_post();
			$output .= '<dt>' . get_post_meta( $post->ID, 'start_date', true ) . '～' . get_post_meta( $post->ID, 'end_date', true ) . '</dt>';
			$output .= '<dd>' . get_the_title() . '</dd>';
	endwhile;
		$output .= '</dl>';
		echo $output;
		wp_reset_query();
	else :
		// イベントがない場合の処理
		echo '<p>イベントないよ～</p>';
	endif;
	?>
</section><!-- /section -->
<section>
	<h1>終了したイベント</h1>
	<?php
	$current_date = date_i18n( 'Y/m/d' );
	$args = array(
		'meta_query' => array(
			array(
				'key' => 'end_date',
				'value' => $current_date,
				'compare' => '<',
				'type' => 'DATE'
			)
		)
	);
	$output = '';
	query_posts( $args );
	if ( have_posts() ) :
		$output .= '<dl>';
		while ( have_posts() ) : the_post();
			$output .= '<dt>' . get_post_meta( $post->ID, 'start_date', true ) . '～' . get_post_meta( $post->ID, 'end_date', true ) . '</dt>';
			$output .= '<dd>' . get_the_title() . '</dd>';
	endwhile;
		$output .= '</dl>';
		echo $output;
		wp_reset_query();
	else :
		// イベントがない場合の処理
		echo '<p>イベントないよ～</p>';
	endif;
	?>
</section><!-- /section -->

ちゃちゃっと書いたのでいろいろ問題あるかもですねー。